L2 Algèbre linéaire et bilinéaire II
Cours le mardi de 10h45 à 12h45.
TD 2 fois 1h30 le mardi/mercredi/vendredi
2 contrôles continus (CC) les semaines du 12 février et 22 avril
Partiel (P) le 12 mars de 10h45 à 12h45
Examen final le 27 mai de 14h à 16h (premiàre session) et la semaine du 24-28 juin (deuxiàme session)
Calcul de la note finale: les CC sont notés sur 20 points, le partiel sur 30 points, l'examen final sur 50 points
Note finale=max(CC+P+F, 5/4*(P+E), 2*Final)
Feuilles de TD
Feuille de TD 1
Feuille de TD 2
Feuille de TD 3
Feuille de TD 4
Feuille de TD 5
Cours 1 (16 janvier 2024)
Définition des permutations, transpositions et cycles.
Toute permutation se décompose comme produit de cycles à supports disjoints.
Toute permutation s'écrit comme produit de transpositions.
Début de la définition de la signature d'une permutation.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], section 4.3.
Cours 2 (23 janvier 2024)
Démonstration du fait que la signature est bien définie. La signature d'un r-cycle vaut (-1) puissance r-1.
Définition du déterminant d'une matrice de taille n. Cohérence avec les cas n=2 et n=3.
Définition d'une application p-linéaire alternée, antisymétrique, symétrique.
Exemple des formes p-linéaires associées à p formes linéaire. Le cas du déterminant.
Énoncé du théorème sur la dimension de l'espace des formes p-linéaires alternées.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], début de la section 4.4.
Cours 3 (29 janvier 2024)
Multiplicativité du déterminant.
Déterminant d'une matrice triangulaire.
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Notes manuscrites.
Cours 4 (6 février 2024)
Démonstration de la formule de développement du déterminant par rapport à une ligne
Démonstration de l'invariance du déterminant par opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes
Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme. Calcul des coefficients en degré n, n-1 et 0.
Notes manuscrites.
Cours 5 (13 février 2024)
Définition de valeurs propres et vecteur propres. Espace propre associé à une valeur propre. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.
Les espaces propres associées à des propres distinctes sont en somme directe.
Définition d'endomorphisme diagonalisable. Il existe une base par rapport à laquelle la matrice de l'endomorphisme est diagonale.
Trois exemples d'endomorphismes diagonalisables et non diagonalisables.
Si le polynôme caractéristique a n racines simples, alors l'endomorphisme est diagonalisable.
Notes manuscrites.
Cours 6 (27 février 2024)
Multiplicité algébrique et géométrique d'une valeur propre.
Trigonalisation.
Le théorème de Cayley-Hamilton.
Notes manuscrites.
Cours 7 (12 mars 2024)
Partiel
Cours 8 (19 mars 2024)
Définition des espaces caractéristiques d'un endomorphisme.
Décomposition d'un espace vectoriel en some directe d'espaces caractéristiques.
Endomorphismes nilpotents.
Décomposition de Dunford : preuve de l'existence.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], Chapitre 2, Définition 2.2.8 et Théorème 2.2.11, puis Chapitre 3, Théorème et définition 3.2.5.
Cours 9 (26 mars 2024)
Unicité dans la décomposition de Dunford.
La suite des noyaux d'un endomorphisme nilpotent.
Partitions d'un entier. Blocs et matrices de Jordan.
Forme normale de Jordan d'un endomorphisme nilpotent. Preuve de l'existence.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], Chapitre 3, Définition 3.1.3, Proposition 3.1.4, Définitions 3.1.5 et Théorème et définition 3.1.6.
Cours 10 (2 avril 2024)
Preuve de l'unicité de la forme normale de Jordan d'un endomorphisme nilpotent.
Blocs et matrices de Jordan : le cas général.
Forme normale de Jordan d'un endomorphisme quelconque : existence et unicité.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], Chapitre 3, Définitions 3.1.8 et Théorème 3.1.10.
Cours 11 (2 avril 2024)
Notes manuscrites.
References
[1] Laurent Koelblen et Patrick Polo, Algèbre et géometrie. Cours à l'Université Pierre et Marie Curie (2012-2013)