M1 Théorie des nombres 1
12 cours le mercredi de 10h45 à 12h45 et le vendredi de 13h45 é 15h45
TD (avec Antoine Ducros) 3 fois 2h par semaine le mardi de 8h30 à 10h30, le mercredi de 16h à 18h et le jeudi de 16h à 18h
Partiel le 14 février pendant le TD
Examen final 24 mai de 14h à 16h (première session) et 21 juin de 14h à 16h (seconde session)
Calcul de la note finale: max(Final, 1/3*Partiel+2/3*Final)
Feuilles de TD: Feuille de TD1 et son corrigé par Antoine Ducros.
Feuille de TD2 et son corrigé par Antoine Ducros.
Feuille de TD3 et son corrigé par Antoine Ducros.
Feuille de TD4.
Feuille de TD5.
Partiel et son corrigé par Antoine Ducros.
Cours 1 (17 janvier 2024)
Définition des nombres premiers. Cribe d'Eratosthène. Lemme d'Euclide. Plus grand common multiple.
Élements inversibles de l'anneau Z/nZ. Lemme chinois.
Factorisation unique en produit des nombres premiers. Valuation p-adique d'un nombre rationnel.
Il y a une infinité de nombres premiers. Énoncé du théorème des nombres premiers et de la progression arithmétique de Dirichlet.
Notes manuscrites (jusqu'en haut de la page 9). Sur le poly [1], section 1.1, pages 1-7.
Cours 2 (19 janvier 2024)
Critères de primalité et de non-primalité.
Petit théorème de Fermat et test de Rabin-Miller.
Critère de Lucas (avec les préliminaires néccessaires de théorie des groupes).
Un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. Deux démonstrations et un algorithme pour calculer un générateur de (Z/pZ)*
Notes manuscrites (pages 9-14). Sur le poly [1], section 1.2, pages 8-13.
Cours 3 (24 janvier 2024)
La loi de réciprocité quadratique.
Notes manuscrites
Cours 4 (26 janvier 2024)
Caractères d'un groupe abélien fini. Le cas des groupes cycliques.
Le groupe de caractères de G a le même ordre que G.
La somme des valeurs d'un caractère sur tous les éléments du groupe est nulle.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], section 1.4A (pages 26-28). Sur le livre [2], chapitre VI, section 1.
Cours 5 (31 janvier 2024)
Caractères de Dirichlet modulo N. L'exemple des symboles de Legendre et de Jacobi
Fonctions multiplicatives et complètement multiplicatives. Dècomposition en produit eulérien de la somme des f(n).
Définition de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L de Dirichlet.
Notes manuscrites. Sur le livre [2], chapitre IV, section 2. Sur le poly [3], section 2.1.4.
Cours 6 (2 février 2024)
Non-annulation des fonctions L et zêta sur Re(s)>1
Prolongement des fonctions L et zêta sur Re(s)>0
Début de la preuve de la non-annulation de L(chi, 1) pour chi réel non trivial
Notes manuscrites. (On pourra consulter le chapitre V de [5] pour les fonctions holomorphes.)
Cours 7 (7 février 2024)
Fin de la preuve de la non-annulation de L(chi, 1) pour chi réel non trivial
Non-annulation de la fonctions zêta sur Re(s)=1
Notes manuscrites.
Cours 8 (9 février 2024)
Non-annulation de la fonction L(chi, s) sur Re(s)=1
Démonstration du théorème de la progression arithmétique
Notes manuscrites.
Cours 9 (14 février 2024)
Démonstration du théorème des nombres premiers supposant le théorèeme tauberien de Newman.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], section 1.3C (pages 19-21). Cette référence suit l'article [6] de Zagier. J'ai aussi évoqué le mémoire [7] de Tschebychev.
Cours 10 (16 février 2024)
Démonstration du théorème tauberien de Newman.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], section 1.3D (pages 22-24).
Cours 11 (28 février 2024)
Suites de nombres réels équiréparties modulo 1. Critère de Weyl.
L'exemple des parties fractionnaires des multiples d'un nombre irrationnel de et log(n).
Énoncé du théorème de Hecke sur l'équirépartition des angles des premiers de Gauss
Notes manuscrites.
References
[1] Antoine Chambert-Loir, Théorie des nombres. Cours à l'Université de Rennes 1 (2007-2008)
[2] Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique. (Meilleure) version anglaise ici.
[3] Frédéric Bourgeois, Arithmétique. Cours à l'Université Paris-Saclay (2023-2024)
[4] Antoine Ducros, Algèbre. Cours à l'ENS.
[5] Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre.
[6] Don Zagier, Newman's short proof of the prime number theorem.
[7] Pafnouti Lvovitch Thebicheff, Mémoire sur les nombres premiers.