M1 Théorie analytique des nombres


12 cours le lundi de 13h45 à 15h45 et le vendredi de 16h é 18h
TD (avec Antoine Ducros) 3 fois 2h par semaine le mardi de 8h30 à 10h30, le mardi de 16h à 18h et le vendredi de 8h30 à 10h30
Partiel le vendredi 14 février pendant le TD
Examen final ??? de ??? à ??? (première session) et ??? de ??? à ??? (seconde session)
Calcul de la note finale: max(Final, 1/3*Partiel+2/3*Final)

Feuilles de TD: Feuille de TD1 et son corrigé par Antoine Ducros.

Feuille de TD2 et son corrigé par Antoine Ducros.

Cours 1 (13 janvier 2025)

Définition des nombres premiers. Cribe d'Eratosthène. Lemme d'Euclide. Plus grand common multiple.
Élements inversibles de l'anneau Z/nZ. Lemme chinois.
Factorisation unique en produit des nombres premiers. Valuation p-adique d'un nombre rationnel.
Il y a une infinité de nombres premiers. Énoncé du théorème des nombres premiers et de la progression arithmétique de Dirichlet.

Notes manuscrites de l'anné dernière (jusqu'en haut de la page 9). Sur le poly [1], section 1.1, pages 1-7.

Cours 2 (17 janvier 2025)

Critères de primalité et de non-primalité.
Petit théorème de Fermat et test de Rabin-Miller.
Critère de Lucas (avec les préliminaires néccessaires de théorie des groupes).
Un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. Deux démonstrations et un algorithme pour calculer un générateur de (Z/pZ)*

Notes manuscrites de l'anné dernière (pages 9-14). Sur le poly [1], section 1.2, pages 8-13.

Cours 3 (20 janvier 2025)

La loi de réciprocité quadratique.

Notes manuscrites de l'anné dernière

Cours 4 (24 janvier 2025)

Caractères d'un groupe abélien fini. Le cas des groupes cycliques.
Le groupe de caractères de G a le même ordre que G.
La somme des valeurs d'un caractère sur tous les éléments du groupe est nulle.

Notes manuscrites de l'anné dernière (jusqu'à la page 6). Sur le poly [1], section 1.4A (pages 26-28). Sur le livre [2], chapitre VI, section 1.

Cours 5 (27 janvier 2025)

Caractères de Dirichlet modulo N. L'exemple des symboles de Legendre et de Jacobi
Fonctions multiplicatives et complètement multiplicatives. Dècomposition en produit eulérien de la somme des f(n).
Définition de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L de Dirichlet.

Notes manuscrites de l'anné dernière. Sur le livre [2], chapitre IV, section 2. Sur le poly [3], section 2.1.4.

Cours 6 (31 janvier 2025)

Non-annulation des fonctions L et zêta sur Re(s)>1
Prolongement des fonctions L et zêta sur Re(s)>0
Début de la preuve de la non-annulation de la fonction zêta sur Re(s)=1

Notes manuscrites de l'anné dernière. (On pourra consulter le chapitre V de [5] pour les fonctions holomorphes.) Cours 7 (3 février 2025)

Fin de la preuve de la non-annulation de la fonction zêta sur Re(s)=1
Preuve de la non-annulation de L(chi, 1) pour chi réel non trivial

Notes manuscrites de l'anné dernière.

Cours 8 (7 février 2025)

Fin de la preuve de la non-annulation de la fonction L(chi, s) sur Re(s)=1
Démonstration du théorème de la progression arithmétique

Notes manuscrites de l'anné dernière.


References

[1] Antoine Chambert-Loir, Théorie des nombres. Cours à l'Université de Rennes 1 (2007-2008)
[2] Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique. (Meilleure) version anglaise ici.
[3] Frédéric Bourgeois, Arithmétique. Cours à l'Université Paris-Saclay (2023-2024)
[4] Antoine Ducros, Algèbre. Cours à l'ENS.
[5] Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre.
[6] Don Zagier, Newman's short proof of the prime number theorem.
[7] Pafnouti Lvovitch Thebicheff, Mémoire sur les nombres premiers.