M1 Théorie des nombres 2
12 cours le mercredi de 10h45 à 12h45 et le vendredi de 13h45 é 15h45
TD (avec Anna Cadoret) 3 fois 2h par semaine le mardi, le mercredi et le jeudi de 16h à 18h
Partiel le 4 avril pendant le TD
Examen final 21 mai de 9h à 11h (première session) et 18 juin de 9h à 11h (seconde session)
Calcul de la note finale: max(Final, 1/3*Partiel+2/3*Final)
Feuilles de TD: Feuille de TD1 et son corrigé par Anna Cadoret.
Feuille de TD2
Cours 1 (6 mars 2024)
Nombres algébriques et entiers algébriques. Stabilité par somme et produit.
Le polynôme minimal d'un nombre algébrique. Un nombre algébrique est un entier algébrique si et seulement son polynôme minimal est à coefficients entiers.
Les conjugués d'un nombre algébrique.
Notes manuscrites (jusqu'à la page 5). Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.1A, pages 107-109.
Cours 2 (8 mars 2024)
Il n'y a qu'un nombre fini d'entiers algébriques de taille bornée.
Les entiers algébriques de degré 2.
Notes manuscrites (à partir de la page 6). Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.1B, pages 110-112.
Cours 3 (13 mars 2024)
Définition et exemples de corps de nombres. Le corps de nombres Q(z) engendré par un nombre algébrique z.
Un corps de nombres a autant de plongements dans C que son degré. Plongements réels et complexes conjugués.
Le théorème de l'élément primitif.
Notes manuscrites Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.1C, pages 112-114.
Cours 4 (15 mars 2024)
Trace et norme d'un élément d'un corps de nombres. Expression en termes des plongements de K dans C. La trace et la norme d'un entier algébrique sont des entiers.
Discriminant d'une base d'un corps de nombres. Rapport avec le discriminant de la forme quadratique Tr(x^2). Formule de changement de base.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.1D, pages 114-116.
Cours 5 (20 mars 2024)
Sous-groupes discrets de R^n. Un sous-groupe discret est un réseau.
L'anneau des entiers est un réseau.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], chapitre 3, section 3.2C, pages 95-98 et chapitre 4, section 4.2A, pages 117-118.
Cours 6 (22 mars 2024)
Ordres d'un corps de nombres. L'exemple de Z[alpha].
Tout ordre d'un corps de nombres est contenu dans l'anneau des entiers.
Discriminant d'un ordre. Si le discriminant d'un ordre est sans facteur carré, alors c'est l'anneau des entiers.
Le discriminant comme volume du domaine fondamental.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.2B et C, pages 118-121.
Cours 7 (27 mars 2024)
Démonstration du théorème des unités de Dirichlet en supposant connu le théorème de Minkowski sur les points de petite norme dans un réseau.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], chapitre 4, section 4.3A et B, pages 123-126.
Cours 8 (29 mars 2024)
Démonstration du théorème de Minkowski.
Application: tout entier positif s'écrit comme somme de 4 carrés.
Notes manuscrites. Sur le poly [1], chapitre 3, section 3.3B et C, pages 102-104. Le calcul du volume de la boule unité pour la norme euclidienne est expliqué page 105.
Cours 9 (3 avril 2024)
Exposé de Catherine Goldstein, Raconte-moi... Charles Hermite !
Cours 10 (5 avril 2024)
Anneaux euclidiens. Un anneau euclidien est principal.
Les anneaux d'entiers de Q[i] et Q[\sqrt{-3}] sont euclidiens pour la norme. L'anneau d'entiers de Q[\sqrt{-19}] n'est pas euclidien pour aucun stathme.
Le quotient de O_K par un idéal non nul est fini. Conséquences pour l'anneau des entiers.
Notes manuscrites. Dans le poly [1], chapitre 4, section 4.4A et B, pages 128-130.
Cours 11 (24 avril 2024)
Notes manuscrites. Dans le poly [1], chapitre 4, section 4.4B et C, pages 130-133.
Cours 12 (26 avril 2024)
Notes manuscrites. Dans le poly [1], chapitre 4, section 4.4D, E et F, pages 133-139.
References
[1] Antoine Chambert-Loir, Théorie des nombres. Cours à l'Université de Rennes 1 (2007-2008)
[2] Pierre Charollois, Théorie des nombres II.
[3] Gaëtan Chenevier, Théorie algébrique des nombres. Cours de Master 1 enseigné à l’École polytechnique (2011-2019).